プログラミング実習I : アフィン変換の補足資料

• ベクトル \(\vbf{v}\) の上から \(i\) 番目の数値のこと
• 式 \eqref{eq:v} においては \(v(1) = 1\) となる

• ベクトルの各成分を一次元配列(要素数 = ベクトルの成分数)に格納
  • 例えば，以下のように，式 \eqref{eq:v} の \(\vbf{v}\) の各成分を 上から 順番に配列 v に格納していく
    • つまり，\(v(i)\) を v[i-1] に代入していく

• 縦と横に 3 つずつ数値を並べた行列のことを 3x3 の行列と呼ぶ

• 行列 \(\vbf{A}\) の上から \(i\) 番目および左から \(j\) 番目の数値のこと

• Matrix3 クラスのオブジェクトを作成し，作成したオブジェクトのフィールド a (二次元配列) に行列の各成分を格納
• 例えば，以下のように，Matrix3 クラスのオブジェクト A を作成し，式 \eqref{eq:A} の 3x3 の行列 \(\vbf{A}\) の各成分を 左上から 順番に 二次元配列 A.a に格納していく
  • つまり，\(A(i, j)\) を A.a[i-1][j-1] に代入していく

• そのため，上記の行列 \(\vbf{A}\) とベクトル \(\vbf{v}\) の積を，あるベクトル \(u\) に等しいと書くことができる

• 式 \eqref{eq:u} で与えられるベクトル \(\vbf{u}\) の \(i\) 成分 \(u(i)\) は次式で計算できる

  \begin{align} u(i) = \sum_{k = 1}^3 A(i, k)\,v(k) \label{eq:multi_v} \end{align}
  • \(A(i, k)\) : 行列 \(\vbf{A}\) の \((i, k)\) 成分
  • \(v(k)\) : ベクトル \(\vbf{v}\) の \(k\) 成分

• 式 \eqref{eq:multi_v} を用いると，ベクトル \(\vbf{u}\) の計算結果は次のようになる

• Matrix3 クラスの times メソッド(※ 引数が一次元配列のもの) を呼び出す
• 以下の例では，行列 \(\vbf{A}\) とベクトル \(\vbf{v}\) の積を計算し，その結果を一次元配列 u に格納している
  • A : 行列 \(\vbf{A}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
  • v : ベクトル \(\vbf{v}\) の各成分が格納された一次元配列

• そのため，式 \eqref{eq:A} の行列 \(\vbf{A}\) と以下の行列 \(\vbf{B}\) の積を，ある行列 \(\vbf{C}\) に等しいと書くことができる

• 式 \eqref{eq:C} で与えられる行列 \(\vbf{C}\) の \((i, j)\) 成分 \(C(i, j)\) は次式で計算できる

  \begin{align} C(i, j) = \sum_{k = 1}^3 A(i, k)\,B(k, j) \label{eq:multi_AB} \end{align}
  • \(A(i, k)\) : 行列 \(\vbf{A}\) の \((i, k)\) 成分
  • \(B(k, j)\) : 行列 \(\vbf{B}\) の \((k, j)\) 成分

• 式 \eqref{eq:multi_v} を用いると \(C(1, 2)\) は次のようになる

• Matrix3 クラスの times メソッド(※ 引数が Marix3 クラスのオブジェクトのもの) を呼び出す
• 以下の例では，行列 \(\vbf{A}\) と行列 \(\vbf{B}\) の積を計算し，その結果を Matrix3 クラスのオブジェクト C に格納している
  • A : 行列 \(\vbf{A}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
  • B : 行列 \(\vbf{B}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
• 注意事項
  • 一般的に，行列積 \(\vbf{A}\,\vbf{B}\) と行列積 \(\vbf{B}\,\vbf{A}\) は等しくない
    • そのため，B.times(A) と A.times(B) の結果は一般的に異なる(間違えないように!)

以下のような，2 つの行列とベクトルの積を考える

• 2 つの積への分解を繰り返すことで計算できる

• 方法 1 : \(\vbf{u} = \vbf{A} \left(\vbf{B}\,\vbf{v}\right)\) に分解して計算する方法

  • まず，以下の行列とベクトルの積を計算する

    \begin{align} \vbf{w} = \vbf{B}\,\vbf{v} \end{align}

  • 次に，以下を計算する

    \begin{align} \vbf{u} = \vbf{A}\,\vbf{w} \end{align}
  • R9 で作成する Matrix3 クラスを用いて，方法 1 に基づく計算を行うためには
    • Matrix3 クラスの times メソッド(※ 引数が一次元配列のもの)を 以下のように 2 回呼び出す
    • 以下の例では，積 \(\vbf{A}(\vbf{B}\,\vbf{v})\) を計算し，その結果を一次元配列 u に格納している
      • A : 行列 \(\vbf{A}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
      • B : 行列 \(\vbf{B}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト

      • w : 積 \(\vbf{B}\,\vbf{v}\) の結果が格納された一次元配列

        // 分解の方法 1 による 2 つの行列とベクトルの積の計算
        double[] w = B.times(v);  // w <- Bv
        double[] u = A.times(w);  // u <- Aw
        

• 方法 2 : \(\vbf{u} = \left(\vbf{A} \vbf{B}\right) \vbf{v}\) に分解して計算する方法

  • まず，以下の行列積を計算する

    \begin{align} \vbf{C} = \vbf{A}\,\vbf{B} \end{align}

  • 次に，以下を計算する

    \begin{align} \vbf{u} = \vbf{C}\,\vbf{v} \end{align}
  • R9 で作成する Matrix3 クラスを用いて，方法 2 に基づく計算を行うためには
    • Matrix3 クラスの times メソッド(※ 引数が Matrix3 クラスと一次元配列のもの)を以下のように 1 回ずつ呼び出す
    • 以下の例では，積 \((\vbf{A}\,\vbf{B})\vbf{v}\) を計算し，その結果を一次元配列 u に格納している
      • A : 行列 \(\vbf{A}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
      • B : 行列 \(\vbf{B}\) の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト

      • C : 積 \(\vbf{A}\,\vbf{B}\) の結果が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト

        // 分解の方法 2 による 2 つの行列とベクトルの積の計算
        Matrix3 C = A.times(B);  // C <- AB
        double[] u = C.times(v); // u <- Cv
        

• 例えば，以下の 3 つの行列 \(\vbf{A}_i\) が存在する場合

  \begin{align} \vbf{u} = \vbf{A}_2\,\vbf{A}_1\,\vbf{A}_0\,\vbf{v} \end{align}
• 上の方法 1 のように分解して計算する場合
  • → \(\vbf{u} = \vbf{A}_2 ( \vbf{A}_1 (\vbf{A}_0 \vbf{v}))\) として計算する
    • ※ 行列とベクトルの積を 3 回行うことになる
• 上の方法 2 のように分解して計算する場合
  • → \(\vbf{u} = (\vbf{A}_2 ( \vbf{A}_1 \vbf{A}_0))\, \vbf{v}\) とする
    • ※ 行列と行列の積を 2 回行った後に，行列とベクトルの積を行うことになる

• 平面上のある座標 \((x_0, y_0)\) を別の座標 \((x_1, y_1)\) に移す際に用いられる変換
• 参考: URL

• 平行移動
  • 座標 \((x_0, y_0)\) を \((x_0 - 50, y_0 - 100)\) に移す

• 座標 \((x_0, y_0)\) を \((2x_0, 3y_0)\) に移す

• 座標 \((x_0, y_0)\) を，原点を基点として 45 度回転させた座標に移す

• 座標 \((x_0, y_0)\) を成分に持つ以下のベクトル \(\vbf{v}\) を考える

  \begin{align} \vbf{v} &= \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{align}
  • ※ 一番下になぜ 1 を入れるのか？の理由を知りたい人は，参考サイト を参照すること

• アフィン変換で移した座標 \((x_1, y_1)\) は，ある 3x3 の行列 \(\vbf{M}\) を用いて次式で計算される

  \begin{align} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ 1 \\ \end{pmatrix} = \vbf{M}\,\vbf{v} \end{align}
• 上式のような行列 \(\vbf{M}\) のことを， 変換行列 と呼ぶことにする
  • 変換行列 \(\vbf{M}\) の例として，以降の項で説明する行列 \(\vbf{T}\) や \(\vbf{S}\) ，\(\vbf{R}\) が挙げられる

• 以下の例のように記述すればよい
  • v : 座標 (x0, y0) を格納した一次元配列
  • M : アフィン変換の変換行列の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト

• ※ ただし，\(\theta\) の単位はラジアン

• deg [°] から theta [ラジアン] に単位を変換するためには，以下を行う

• ただし theta の単位はラジアン

• 例えば，平行移動(tx=50, ty=50) → 拡大縮小(sx=2, sy=3) → 平行移動(tx=-30, 50) に対する合成変換を考える
  • それぞれのアフィン変換に対応する変換行列を以下とする
    • \(\vbf{T}_0\) : 平行移動(tx=50, ty=50) の変換行列
    • \(\vbf{S}\) : 拡大縮小(sx=2, sy=3) の変換行列
    • \(\vbf{T}_1\) : 平行移動(tx=-50, ty=50) の変換行列
  • この例での合成変換に対応する変換行列 \(\vbf{M}\) は以下で与えられる
    • アフィン変換を行う順序とは逆に，左から順番に変換行列を並べていくことに注意

• 以下のように記述すればよい
  • v : 座標 (x0, y0) を格納した一次元配列
  • T0 : 平行移動(tx=50, ty=50) の変換行列の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
  • S : 拡大縮小(sx=2, sy=3) の変換行列の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
  • T1 : 平行移動(tx=-50, ty=50) の変換行列の各成分が格納された Matrix3 クラスのオブジェクト
  • (x1, y1) : 変換後の座標

• 同じ変換を何度も行う場合，作成した変換行列 M を再利用することで計算時間を削減できる

• 以下のようになる

• 座標 \((x_i, y_i)\) ： 多角形を構成する頂点 i の座標 (\(i = 0, .., n-1\))

• 以下の図のように，平行移動に対応する変換行列 \(\vbf{T}\) を用いて，すべての頂点 \(i\) の座標 \((x_i, y_i)\) を移せばよい

• 以下のように記述すれば，多角形に対するアフィン変換が行え，変換後の各頂点の座標が xPoints および yPoints に格納される
  • nPoints: 多角形の頂点数
  • xPoints: 各頂点の \(x\) 座標を格納した一次元配列(変換後に上書きされる)
  • yPoints: 各頂点の \(y\) 座標を格納した一次元配列(変換後に上書きされる)
  • M : アフィン変換の変換行列の各成分を格納した Matrix3 クラスのオブジェクト